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Jul 06, 2023

Un método de interpolación eficiente y preciso para el mecanizado de curvas paramétricas

Scientific Reports volumen 12, Número de artículo: 16000 (2022) Cite este artículo 1219 Accesos 2 Citas 1 Detalles de Altmetric Metrics Un método de interpolación de subsección basado en la curvatura de la curva

Scientific Reports volumen 12, número de artículo: 16000 (2022) Citar este artículo

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1 altmétrica

Detalles de métricas

Se propone un método de interpolación de subsección basado en el umbral de curvatura de la curva para resolver el problema incompatible de la precisión del mecanizado y la eficiencia del mecanizado en el mecanizado de curvas paramétricas. En la etapa previa a la interpolación, el umbral de curvatura de la curva se calcula en función de restricciones geométricas y cinemáticas. Los puntos clave de interpolación de la subsección y sus velocidades nominales se determinan luego a partir de los puntos de umbral de curvatura y los puntos inicial y final de la curva, y la longitud del arco de cada subsegmento se puede calcular basándose en el método de Simpson adaptativo. Como resultado, el algoritmo de planificación de velocidad tipo S y el algoritmo de escaneo de velocidad bidireccional se utilizan para actualizar y realizar la curva de velocidad global para reducir la fluctuación de velocidad. En la etapa de interpolación en tiempo real, los parámetros de interpolación de la curva se calculan utilizando el método paramétrico de Runge-Kutta de segundo orden modificado, que podría mejorar significativamente la precisión de la interpolación y también acortar el tiempo de interpolación. Finalmente, utilizando casos numéricos se descubre que el método propuesto puede suavizar la velocidad de interpolación general, reducir la fluctuación de velocidad de manera efectiva y mejorar el rendimiento en tiempo real de la interpolación.

El B-Spline racional no uniforme (NURBS) tiene buena capacidad de control local y capacidad de expresión de formas, y se ha utilizado ampliamente en la construcción de curvas y superficies libres1. La tecnología de interpolación basada en NURBS puede interpolar directamente curvas paramétricas sin separar las curvas en una gran cantidad de líneas rectas y arcos, evitando así aceleraciones y desaceleraciones frecuentes en el proceso de procesamiento. Mejoraría enormemente la precisión y eficiencia del mecanizado. Con la creciente demanda de mecanizado de piezas de superficie complejas, la tecnología de mecanizado y modelado de superficies complejas basada en la tecnología NURBS se ha convertido en la tecnología clave para lograr un mecanizado de precisión de alta eficiencia y ha atraído cada vez más la atención de los académicos. Wei et al.2 estudiaron el modelado integral del impulsor y la planificación de la trayectoria de la herramienta basándose en la curva y superficie NURBS, y realizaron el diseño y procesamiento de piezas de superficie complejas basándose en parámetros NURBS unificados, pero su proceso de procesamiento dependía de máquinas herramienta NC de alta calidad con Función de interpolación NURBS.

En la actualidad, la investigación sobre la interpolación NURBS en el país y en el extranjero se centra principalmente en dos aspectos: el algoritmo de planificación de velocidad y el cálculo de los parámetros de interpolación spline en tiempo real. En el mecanizado de control numérico (NC), la herramienta se mueve a lo largo de la trayectoria dada de la curva de parámetros y, debido a las restricciones cinemáticas y geométricas, el método de planificación de velocidad preestablecido puede garantizar el empalme suave de múltiples curvas de velocidad. Wang et al.3,4,5 utilizaron una velocidad de alimentación constante para interpolar la curva de parámetros, el método conduce a la estabilidad del proceso de procesamiento para la curva con pocos cambios en la curvatura, pero para la curva de parámetros con curvatura variable, el procesamiento No se puede considerar la precisión y la eficiencia del procesamiento. Nam et al.6,7,8,9 propusieron un algoritmo que planifica la aceleración/desaceleración tipo S autoadaptativo para cumplir con las restricciones cinemáticas de la máquina herramienta para realizar la transición suave de la velocidad de avance, por lo que este método es uno de los algoritmos de planificación de velocidad más utilizados en el campo del mecanizado NC10,11,12,13,14. Lee et al.15 y Wang et al.16 propusieron el método de planificación de velocidad de la función trigonométrica para realizar el cambio suave de aceleración y sacudida, pero su proceso de procesamiento solo alcanza el valor extremo de los parámetros de movimiento en momentos individuales, no puede completarse. uso de máquinas herramienta y la eficiencia del movimiento es baja. Liu et al.17 agregaron puntos de verificación de velocidad positivos y negativos en el módulo de interpolación prospectiva basado en la planificación de aceleración y desaceleración tipo S, y determinaron si llamar al punto de verificación de interpolación inversa interpolación de acuerdo con las condiciones de juicio de velocidad en el modelo real. etapa de interpolación de tiempo. Este método puede mejorar eficazmente la eficiencia de la interpolación. Zhang et al.18 utilizaron cinco curvas de muestra B para generar una trayectoria con curvatura suave basada en restricciones teóricas de velocidad de avance limitadas por la aceleración y el impacto del eje. Chen et al.19 propusieron un algoritmo de control de aceleración/desaceleración de cinco polinomios, que es capaz de lograr un control flexible de la aceleración. LI et al.20 utilizaron el perfil de velocidad de avance de la función sigmoidea, que es más conciso en comparación con el perfil polinómico y más eficiente en comparación con el perfil trigonométrico.

La relación entre la longitud del arco de la curva NURBS y los parámetros no es lineal, por lo que es necesario expresar la relación mediante un método numérico. Al interpolar la curva, es necesario calcular los parámetros de la curva correspondientes al punto de interpolación de cada ciclo de interpolación de acuerdo con el método de programación de velocidad preestablecido. Por lo general, los parámetros del punto de interpolación se calculan mediante el método directo o el método iterativo, y el método directo utiliza principalmente la expansión de la serie de Taylor. Shipitalni et al.21 utilizaron el método de expansión de Taylor de primer orden para calcular los parámetros de cada punto de interpolación por primera vez, pero el error de interpolación fue grande debido al abandono del término de orden superior. Yang et al.22 adoptaron la expansión de Taylor de segundo orden, que mejoró la precisión de la interpolación. Sin embargo, la introducción de la derivada de segundo orden requirió una gran cantidad de cálculos, lo que afectó el rendimiento en tiempo real, y la expansión de Taylor inevitablemente introdujo errores de truncamiento. Han et al.23 utilizaron el método de Runge-Kutta para calcular los parámetros de interpolación. La precisión de este método es relativamente alta, pero la primera derivada debe resolverse cuatro veces cada vez. Peng et al.24 y Ji et al.25 utilizaron los métodos Adams-Bashforth y Adams-Moultou para calcular los parámetros de interpolación en la etapa de interpolación en tiempo real, que pueden considerar tanto la precisión como la eficiencia de la interpolación. El método de iteración de parámetros de puntos de interpolación se refiere principalmente al método de "estimación-corrección", que obtiene la desviación entre los parámetros reales e ideales a través de la estimación y luego corrige la desviación a un rango determinado mediante iteraciones repetidas. Zhao et al.26 propusieron un método de cálculo de parámetros de interpolación con corrección de longitud de arco y corrección de retroalimentación, que puede mejorar la eficiencia y precisión de la interpolación. Ni et al.27 propusieron un algoritmo de predicción de polinomios quínticos y estimaron la longitud del arco objetivo en la expansión de Taylor de segundo orden para mejorar la precisión del cálculo y la velocidad de convergencia iterativa. El método de iteración debe repetirse en cada ciclo de interpolación y el número de iteraciones no es fijo, lo que afecta el rendimiento de la interpolación en tiempo real.

En este artículo, se utiliza el algoritmo de interpolación de muestreo de datos para procesar la curva de parámetros en dos etapas: preinterpolación e interpolación en tiempo real. En la fase previa a la interpolación, el valor mínimo de la restricción del error de cuerda y las restricciones de velocidad, aceleración y aceleración se utilizan como umbral de curvatura de la curva. Establecer los puntos de la curva donde la curvatura iguala y excede el umbral de curvatura como puntos clave, dividiendo la curva en segmentos de curva según los puntos clave y calculando la velocidad nominal en cada punto clave según las restricciones. El método de planificación de velocidad en forma de S se utiliza para lograr una aceleración continua y limitada dentro de cada segmento de la curva; en cada punto clave se utiliza el método de escaneo bidireccional de velocidad para lograr una aceleración continua y limitada en segmentos de curva adyacentes. Al mismo tiempo, para mejorar aún más la precisión y eficiencia del cálculo de interpolación, se propone un método paramétrico de Runge-Kutta de segundo orden modificado en la etapa de interpolación en tiempo real, que utiliza solo tres cálculos de derivadas de primer orden después de introducir el parámetro. valores de corrección para obtener una alta precisión de cálculo, evitando el complejo volumen de cálculo de los algoritmos de interpolación tradicionales. La combinación del método de planificación de velocidad propuesto y el algoritmo de interpolación paramétrica también puede reducir la cantidad de cálculos de interpolación al tiempo que garantiza la precisión de la interpolación y mejora el rendimiento de la interpolación en tiempo real. Finalmente, se discute mediante simulación la validez del algoritmo de interpolación propuesto.

La expresión general de la curva NURBS28:

donde \(k\) es el número de veces de las curvas NURBS, \(u\) es el parámetro de la curva, \(P_{i}\) es el vértice de control, y estos puntos pueden formar un polígono de control de curva NURBS, \(\omega_{i}\) representa el peso correspondiente al vértice de control, \(N_{i,k} (u)\) es la función base B-spline de i-ésimo grado definida en el plano no periódico y no -vector de nodo uniforme U. Definido por la recursividad de De-Boor como:

donde \(U = \left\{ {\underbrace {0, \ldots 0,}_{k + 1}u_{k + 1} , \ldots ,u_{n} ,\underbrace {1, \ldots ,1 }_{k + 1}} \right\}\) es una secuencia monótona de números reales reducidos.

Dado que no existe una relación analítica exacta y precisa entre los parámetros de la curva y la longitud del arco, es necesario seleccionar un método de interpolación numérica apropiado para obtener los parámetros de la curva y luego generar instrucciones de posición de interpolación. En este artículo, se utiliza un algoritmo de interpolación de Runge-Kutta de segundo orden modificado por parámetros para calcular parámetros de interpolación en tiempo real. En primer lugar, el método de Runge-Kutta de segundo orden se puede utilizar para calcular el valor inicial \(\tilde{u}_{i + 1}\) de los parámetros de interpolación en el siguiente ciclo de interpolación, que se basa en la velocidad de interpolación. \(V(u_{i} )\) y parámetro de interpolación \(u_{i}\) en el ciclo de interpolación actual:

donde \(T\) es el período de interpolación, \(C^{\prime}(u_{i} )\) es la derivada de primer orden de la curva NURBS, \(K_{1}\) y \(K_{ 2}\) están dados por

Según la ecuación. (3), se puede obtener el valor del parámetro inicial del nuevo punto de interpolación y luego se puede calcular el valor de modificación del parámetro \(\Delta u_{i + 1}\). Para minimizar la fluctuación de velocidad, el desplazamiento de interpolación real en el período de interpolación debe ser igual al desplazamiento de interpolación ideal, es decir, se debe satisfacer la siguiente ecuación:

La expansión en serie de Taylor de primer orden de la ecuación del parámetro de la curva NURBS \(C(u)\) en el valor del parámetro inicial \(\tilde{u}_{i + 1}\) se puede obtener como:

Sustituyendo la ecuación. (7) en la ecuación. (6) rendimientos

Con la ayuda de la relación anterior, la Ec. (8) entonces puede escribirse como

En la ecuación. (9), los coeficientes \(c_{1}\), \(c_{2}\) y \(c_{3}\) se definen como

Dos raíces \(\Delta u_{i + 1,1}\) y \(\Delta u_{i + 1,2}\) del valor de corrección del parámetro \(\Delta u_{i + 1}\) pueden ser obtenido resolviendo la ecuación cuadrática. (9):

Dado que el método de Runge-Kutta puede lograr una precisión de segundo orden, el coeficiente \(c_{3} \approx 0\) se cumple. Por lo tanto, \(\Delta u_{i + 1,1} \approx 0\), \(\Delta u_{i + 1,2} \approx - \frac{{c_{2} }}{{c_{1 } }}\). Para cumplir con los requisitos de estabilidad del algoritmo de interpolación, si la ecuación. (9) no tiene una solución real, el valor de corrección del parámetro se establece en 0, si la Ec. (9) tiene una solución real, la solución más pequeña se toma como valor de corrección del parámetro. Es decir, el valor de modificación del parámetro \(\Delta u_{i + 1}\) se puede calcular como:

Por tanto, el parámetro del siguiente punto de interpolación de la curva se puede obtener sumando el valor del parámetro inicial y el valor de corrección del parámetro:

De acuerdo con el proceso de cálculo de parámetros de interpolación anterior, se puede encontrar claramente que el algoritmo de interpolación paramétrico de Runge-Kutta de segundo orden modificado desarrollado aquí solo realiza tres cálculos de derivadas de primer orden y no realiza operaciones derivadas de orden superior. Como resultado, la precisión de los cálculos se puede mejorar bajo la premisa de reducir el costo de los cálculos.

El control en tiempo real y la planificación de la velocidad de avance son los dos factores clave para lograr la alta precisión y la alta eficiencia del mecanizado CNC. El control flexible de aceleración y desaceleración puede hacer que la herramienta y las piezas de la máquina herramienta funcionen sin problemas en el proceso de mecanizado, sin el fenómeno de choque, impacto, desfase, etc.

En este artículo, se elige el método de planificación de aceleración/desaceleración de la curva tipo S para realizar el control de velocidad de interpolación de la curva, y se adopta el método de Runge-Kutta de segundo orden modificado con parámetros para calcular los parámetros del punto de interpolación para realizar la interpolación en tiempo real. El proceso de interpolación se muestra en la Fig. 1.

El proceso general del método de interpolación.

En la etapa de preprocesamiento, se calcula el umbral de curvatura a través de condiciones como alto error y aceleración normal, y luego se determina que el punto de curvatura máxima y el punto de curvatura del valor umbral no son menores que, De acuerdo con los puntos clave de la curva NURBS se divide en varios períodos NURBS, cada sección del cálculo de la longitud del arco, basado en el algoritmo de planificación de velocidad tipo S, conecta suavemente los párrafos al principio y al final de la curva de la velocidad nominal, la curva de velocidad de interpolación final se obtiene mediante escaneo de velocidad bidireccional. Finalmente, el algoritmo de interpolación de Runge-Kutta de segundo orden con modificación de parámetros propuesto en la Sección 1.2 se utiliza para obtener instrucciones de posición en tiempo real de acuerdo con la curva de velocidad planificada para completar la interpolación.

La interpolación de curvas NURBS utiliza la longitud de la cuerda para aproximar la longitud del arco, por lo que se generará un error de cuerda, como se muestra en la Fig. 2. El arco circular cercano se usa comúnmente para aproximar la curva en el punto de interpolación actual \(C(u_{i} ) \), y la velocidad nominal \(v_{ui}\) en el punto \(C(u_{i} )\) se puede obtener a partir del radio circular cercano \(\rho_{i}\) de curvatura y el error de cuerda \(\delta_{i}\) de la siguiente manera29:

Diagrama esquemático del error de cuerda.

De manera similar, después de considerar la aceleración normal y la sacudida normal, la velocidad nominal \(v_{ri}\) puede estar dada por la ecuación. (15)30.

donde \(\delta_{0}\) es el error de cuerda máximo establecido, \(T\) es el período de interpolación, \(a_{m}\) y \(j_{m}\) son la aceleración máxima y la máxima Tirón permitido por la máquina.

Denota \(\kappa = \frac{1}{\rho }\), cuando \(v_{ri}\) es igual al máximo federado \(v_{m}\), el umbral de curvatura de la curva del parámetro \( \kappa_{0}\) se puede obtener como se muestra en la ecuación. (dieciséis).

Una vez obtenido el umbral de curvatura de la curva \(\kappa_{0}\), se obtienen todos los puntos máximos de curvatura de la curva. Si la curvatura en este punto máximo de curvatura también se cumple y k es mayor o igual a \(\kappa_{0}\), estos puntos se determinan como puntos clave. Los puntos clave resultantes, incluidos los puntos inicial y final de la curva, son todos los puntos clave, como se muestra en la Fig. 3. Luego, establezca la velocidad nominal en el primer y último punto clave en cero y obtenga la velocidad nominal \(v_{ ri}\) de cada punto clave excepto el primer y último punto clave de la ecuación. (15). La curva se divide en varias secciones en puntos clave, y la velocidad final de cada subsección es la velocidad nominal \(v_{ri}\). Luego, la longitud del arco S de cada subsección se determina utilizando el método de Simpson autoadaptativo. Finalmente, la función de velocidad de las velocidades límite inicial y final se determina de acuerdo con el método de aceleración y desaceleración tipo S y el algoritmo de escaneo de velocidad bidireccional.

Diagrama de flujo de planificación de aceleraciones y desaceleraciones.

La curva NURBS se divide en varios subsegmentos y las velocidades inicial y final de cada subsegmento están conectadas de acuerdo con el método de aceleración y desaceleración preestablecido. Para lograr un mecanizado eficiente y de alta calidad, a continuación se proporciona el algoritmo de control de aceleración y desaceleración tipo S.

Cuando los valores máximos de aceleración y sacudida son \(a_{\max }\) y \(J_{t}\), y las velocidades inicial y final son \(v_{s}\) y \(v_{e} \), el esquema de planificación de aceleración y desaceleración en forma de s se muestra en la Fig. 4.

Planificación de aceleración y desaceleración tipo S de (a) Aceleración elevada - aceleración constante - aceleración reducida, (b) Aceleración reducida - velocidad constante - desaceleración reducida, (c) Aceleración elevada - desaceleración elevada, (d) Aceleración reducida - desaceleración reducida.

Para garantizar la eficiencia de aceleración y desaceleración, las trayectorias de cada subsección están conectadas de acuerdo con la longitud del arco s, la velocidad inicial \(v_{s}\) y la velocidad final \(v_{e}\) de cada sección de La curva. Las cuatro curvas de velocidad comunes se muestran en la Fig. 4. Cuando la longitud del subarco es larga, la curva de velocidad es del tipo de aceleración elevada-velocidad constante-aceleración reducida (aceleración reducida-velocidad constante-desaceleración reducida). Cuando la longitud del subarco es corta, la curva de velocidad es del tipo de aceleración elevada-desaceleración elevada (aceleración reducida-desaceleración reducida).

Bajo las limitaciones de aceleración máxima \(a_{\max }\) y tirón \(J_{t}\), el tiempo de aceleración elevada (aceleración reducida) \(t_{1}\), el tiempo de velocidad constante \ (t_ {2} \), el tiempo de aceleración reducida (desaceleración reducida) \ (t_ {3} \) de la planificación de aceleración y desaceleración tipo S se expresa de la siguiente manera:

Supongamos que la aceleración máxima \(a_{\max }\) en el proceso de aceleración/desaceleración es igual a \(J_{t} t_{1}\), entonces la relación entre la velocidad \(v\) y el tiempo \ (t\) en el proceso de aceleración/desaceleración se puede expresar como:

donde “\(\pm\)” es “\(+\)” y “\(-\)” en el proceso de aumento de velocidad; “\(\mp\)” es, sin embargo, “\(-\)” y “\(+\)” en el proceso de disminución de velocidad.

Por lo tanto, la relación entre el desplazamiento \(s\) y el tiempo \(t\) en el proceso de aceleración/desaceleración es:

De acuerdo con el proceso de aceleración y desaceleración tipo S anterior, el desplazamiento total \(s\) del movimiento de aceleración/desaceleración desde la velocidad inicial \(v_{s}\) hasta la velocidad final \(v_{e}\) es:

Como no se puede obtener la solución exacta de la longitud del arco de cada curva, generalmente se utilizan métodos numéricos para calcular el valor aproximado de la longitud del arco. Para cumplir con la precisión del cálculo y considerar la eficiencia del cálculo numérico, se utiliza el método Simpson adaptativo31 para calcular la longitud del arco aquí \(s(u_{i} ,u_{i + 1} )\):

donde \(C^{\prime}(u_{i} )\) y \(C^{\prime}(u_{i + 1} )\) son las primeras derivadas de la curva en los parámetros \(u_{i) }\) y \(u_{i + 1}\).

Según la ecuación. (21), se calculan las longitudes de arco de las curvas entre puntos clave. La sección 2.1 solo determina la velocidad de los puntos clave de acuerdo con restricciones geométricas y cinemáticas. Este método solo puede garantizar que la velocidad en los puntos clave no cause que el error de cuerda exceda el límite y que la velocidad, la aceleración y la aceleración elevada estén limitadas dentro del rango dado. Además, debemos considerar la longitud del arco de las curvas de acuerdo con el punto clave de si puede satisfacer la longitud del arco requerida de la aceleración y desaceleración durante la interpolación en tiempo real. Si la longitud de arco real entre puntos clave no puede cumplir con la longitud de arco requerida, entonces la velocidad de cada punto clave debe actualizarse aún más para garantizar que la velocidad general de la curva después de la segmentación en cada punto clave sea suave. Por lo tanto, para mejorar la eficiencia de actualización de la velocidad en puntos clave, se adopta un escaneo de velocidad bidireccional hacia adelante y hacia atrás para actualizar aún más la velocidad en puntos clave de acuerdo con la longitud del arco de cada subsegmento. El proceso de escaneo se muestra en la Fig. 5.

Actualizar el diagrama de flujo de la velocidad de escaneo bidireccional de puntos clave.

Sea i = 0 el punto clave inicial, es decir, el comienzo de la curva; \(i = N_{fs}\) representa el punto clave final, es decir, el final de la curva; \(v_{ri}\) es la velocidad del punto clave anterior; \(v_{ri + 1}\) es la velocidad del siguiente punto clave. En el escaneo inverso, el primer conjunto \(i = N_{fs}\), si \(v_{ri}\) es mayor que \(v_{ri + 1}\), es el proceso de desaceleración; de lo contrario, es el proceso de aceleración. Luego, la longitud del arco de la curva S entre los puntos clave \(ri\) y \(ri + 1\) se compara con la longitud del arco más pequeña \(s_{req} \left( {v_{ri} ,v_{ri + 1} } \right)\) necesaria desde la velocidad del punto clave anterior \(v_{ri}\) a la velocidad del siguiente punto clave \(v_{ri + 1}\) según la ecuación. (20), si \(s_{req} \left( {v_{ri} ,v_{ri + 1} } \right) \le s_{ri}\), entonces la longitud del arco de esta sección puede completar la desaceleración proceso; de lo contrario, el proceso de desaceleración no se podrá realizar. Luego, se adopta el método de dicotomía para seleccionar la velocidad \(v_{r,temp}\) entre la velocidad \(v_{ri}\) y \(v_{ri + 1}\) de modo que cumpla con \(s_{req) } (v_{r,temp} ,v_{ri + 1} ) = s_{ri}\), la velocidad en este punto clave se actualiza a \(v_{r,temp}\), de modo que cumpla con la desaceleración proceso, y el proceso anterior se repite hasta que el proceso de rastreo inverso de desaceleración finaliza en \(i = 0\); En el escaneo hacia adelante, el valor comienza desde \(i = 0\), si \(v_{ri} < v_{ri + 1}\), la velocidad aumenta. Luego, la longitud del arco de la curva \(s_{ri}\) entre los puntos clave \(ri\) y \(ri + 1\) se compara con la longitud del arco \(s_{req} \left( {v_{ri} ,v_{ri + 1} } \right)\), requerida desde la velocidad del punto clave anterior de \(v_{ri}\) hasta la velocidad del siguiente punto clave de \(v_{ri + 1}\), de acuerdo con Ec. (20). Si \(s_{req} \left( {v_{ri} ,v_{ri + 1} } \right) \le s_{ri}\), la longitud del arco de esta sección puede completar el proceso de aumento de velocidad; de lo contrario, no se podrá realizar el proceso de aumento de velocidad. Se adopta el método de dicotomía para seleccionar la velocidad \(v_{rF,temp}\) entre la velocidad \(v_{ri}\) y la velocidad \(v_{ri + 1}\) de modo que cumpla con \(s_ {req} (v_{ri} ,v_{rF,temp} ) = s_{ri}\), y la velocidad en este punto clave se actualiza a \(v_{rF,temp}\) para que alcance la velocidad proceso de disminución. El proceso anterior se repite hasta que se completa el proceso de escaneo inverso de disminución de velocidad en \(i = 0\). En última instancia, el punto clave federado \(v_{i}\) se toma como el valor mínimo después de la actualización del barrido bidireccional hacia adelante y hacia atrás.

donde \(v_{ri}\) es la velocidad nominal, \(v_{rF,temp}\) es la velocidad de escaneo hacia adelante, \(v_{r,temp}\) es la velocidad de escaneo hacia atrás.

Después de la actualización del escaneo de velocidad de avance y retroceso, los valores de velocidad en cada punto clave se pueden restringir aún más dentro del rango de restricción. Se obtienen los puntos clave y sus valores de velocidad permitidos. La velocidad de alimentación planificada adopta el valor de velocidad restringido en puntos clave, y en puntos no clave, la velocidad cambia suavemente de acuerdo con el método de aceleración y desaceleración tipo S planificado en la Sección 2.2.

Una vez completada la planificación de la velocidad de alimentación, la Secta. 1.2 Se adoptó el método de cálculo del parámetro de interpolación para muestrear con un período fijo T basado en la planificación de aceleración y desaceleración tipo S, calcular el incremento de la longitud del arco del ciclo de interpolación actual \(\Delta s\), para determinar aún más el siguiente parámetro de interpolación \(u\), y finalmente determine la curva de trayectoria de interpolación.

Para verificar la efectividad del algoritmo propuesto en este artículo, se utilizó el software MATLAB para simular una curva NURBS cúbica con 51 puntos de control como se muestra en la Fig. 6. Al mismo tiempo, establezca los parámetros de simulación como se muestra en la Tabla 1.

Curva NURBS.

En la etapa de preprocesamiento, el algoritmo de planificación de velocidad primero obtendrá el umbral de curvatura de acuerdo con las restricciones, luego buscará todos los puntos clave y segmentará la curva NURBS en los puntos clave, y finalmente actualizará las velocidades de los puntos clave mediante S- escriba métodos de aceleración/desaceleración y escaneo hacia adelante del proceso de aceleración y escaneo inverso del proceso de desaceleración para garantizar la suavidad de la luz global de las velocidades. De acuerdo con los parámetros de simulación establecidos en la Tabla 2 y la Ec. (21), el valor umbral de curvatura se calcula como \(\kappa_{0} = 70,7\,\upmu {\text{m}}^{ - 1}\), con un total de 28 puntos clave y 27 subsegmentos, como se muestra en las Figs. 7, 8 muestran la velocidad nominal en cada punto clave y la velocidad después de una actualización de escaneo bidireccional.

Punto clave.

Actualización de velocidad de puntos clave.

El método de planificación de velocidad propuesto en este artículo se utiliza para obtener las curvas de velocidad de alimentación, aceleración normal y sacudida normal de la curva general en el proceso de interpolación, como se muestra en las Figs. 9, 10 y 11. Cada componente está bien restringido dentro del rango establecido. Puede verse en la Fig. 11 que la sacudida correspondiente al método de planificación de velocidad obtuvo un valor máximo en múltiples posiciones. La Figura 12 muestra la curva de error de cuerda en el proceso de interpolación y se puede ver que el error de procesamiento está completamente limitado dentro del rango de procesamiento permitido.

Curva de velocidad de alimentación.

Curva de aceleración.

Curva brusca.

Error de acordes.

Para verificar aún más las ventajas del método de actualización de velocidad de curva NURBS bidireccional por partes basado en puntos clave y el algoritmo de interpolación de Runge-Kutta de segundo orden con modificación de parámetros propuesto en este artículo, los resultados de la simulación se compararon con el método de expansión de Taylor de primer orden y el método de Runge-Kutta de cuarto orden, que también solo necesita calcular la derivada de primer orden NURBS. La volatilidad de la velocidad de alimentación en cada punto de interpolación se calculó \(\delta_{i}\)32. La volatilidad de la velocidad de alimentación de los tres métodos se muestra en la Fig. 13 y la comparación del tiempo de cálculo se muestra en la Tabla 2.

Fluctuación de la velocidad de alimentación de tres algoritmos de interpolación (a) Método de expansión de Taylor de primer orden, (b) Método de Runge-Kutta de cuarto orden, (c) Método de Runge-Kutta de segundo orden con corrección de parámetros.

El método de expansión de Taylor de primer orden solo necesita la derivada de primer orden una vez en el cálculo de los parámetros de interpolación, que tiene el tiempo de cálculo más corto. Sin embargo, debido al gran error de truncamiento, la tasa de fluctuación de velocidad es la mayor. El método de Runge-Kutta de cuarto orden requiere un total de cuatro operaciones derivadas de primer orden, el tiempo de cálculo es el más largo, la precisión del cálculo es mayor y la fluctuación de velocidad es menor en comparación con el método de expansión de Taylor de primer orden. El método adoptado en este artículo requiere un total de tres cálculos de derivadas de primer orden, incluidos dos cálculos de derivadas de primer orden y un cálculo de derivadas al calcular la corrección de parámetros, por lo que la fluctuación de velocidad es la más pequeña y el tiempo de cálculo de los parámetros de interpolación es menor. que el método de Runge-Kutta de cuarto orden y más grande que el método de expansión de Taylor de primer orden, y la precisión de la interpolación es mayor.

En este artículo se propone un algoritmo de interpolación NURBS con segmentación de longitud de arco. De acuerdo con las restricciones geométricas y cinemáticas, el umbral de curvatura se calcula para obtener la velocidad nominal en los puntos clave, las curvas NURBS se segmentan en los puntos clave y las longitudes de arco de cada segmento se calculan mediante el método de Simpson adaptativo. Basado en el método de planificación de velocidad en forma de S, la velocidad en los puntos clave se actualiza mediante escaneo bidireccional y se logra la suavización global de la velocidad. En la etapa de interpolación en tiempo real, para mejorar el rendimiento en tiempo real del cálculo de interpolación, se utiliza el método de Runge-Kutta de segundo orden con corrección de parámetros para calcular los parámetros de la curva de interpolación en tiempo real, que puede reducir efectivamente la cantidad de cálculo en interpolación y mantener una alta precisión de interpolación. La simulación de interpolación verifica que el método de planificación de velocidad propuesto y el método de cálculo de parámetros de interpolación puedan cuidar bien la precisión de la interpolación y el rendimiento de la interpolación en tiempo real.

Los conjuntos de datos utilizados o analizados durante el presente estudio están disponibles del autor correspondiente previa solicitud razonable.

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El financiamiento fue proporcionado por el Proyecto de Planificación de Ciencia y Tecnología de la Oficina Provincial de Ciencia y Tecnología de Shaanxi (Subvención No. 2016GY-019). Proyecto de planificación de ciencia y tecnología de la Oficina de ciencia y tecnología de la ciudad de XianYang (subvención n.° S2021ZDZX-GY-0058).

Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad de Ciencia y Tecnología de Xi'an, Xi'an, 710054, China

Juan Wei, Chao Sun, Xue-jing Zhang y Er-jie Wang

Laboratorio provincial clave de monitoreo inteligente de equipos electromecánicos mineros de Shaanxi, Xi'an, 710054, China

Juan Wei

Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad Estatal de California, Fresno, Fresno, CA, 93740-8030, EE. UU.

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Correspondencia a Juan Wei.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Wei, J., Sun, C., Zhang, Xj. et al. Un método de interpolación eficiente y preciso para el mecanizado de curvas paramétricas. Representante científico 12, 16000 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-20018-9

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Recibido: 02 de julio de 2022

Aceptado: 07 de septiembre de 2022

Publicado: 26 de septiembre de 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-20018-9

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